Triadas Pitagóricas

María del Socorro Rivera Casales

Centro de Estudios Superiores de Educación,

Universidad Nacional Autónoma de México y Tecnológico Nacional de México.

Nadia Gil Ruiz
Centro de Estudios Superiores de Educación

Autor: María del Socorro Rivera Casales. Maestra en Ciencias, especialidad matemática educativa (Cinvestav, IPN)., Doctorado en Ciencias de la Educación (COLPOS), Estudiante de Posdoctorado en Educación (CESE), labora (ENP UNAM, TECNM). https://orcid.org/0000-0001-7696-2271.

Coautora: Nadia Gil Ruiz. Maestra y Doctora en Ciencias, especialidad matemática educativa (Cinvestav, IPN). Experta Universitaria en Administración de la Educación por la Universidad a Distancia de España. Posdoctorado en Gobernanza por la OEI y la Universidad de Alcalá de Henares, Labora en el Centro de Estudios Superiores en Educación, https://orcid.org/my-orcid?orcid=0000-0003-3383-7897.

Resumen

En general, cuando se construye conocimiento matemático, hay momentos en los que es importante detenerse a observar lo que se ha hecho, quizás, esa observación concluye en la determinación de alguna regularidad, útil para hacer  la construcción del pensamiento. El artículo tiene como objetivo ilustrar la aplicación de las triadas pitagóricas para la solución de triángulos rectángulos y razones trigonométricas en el nivel bachillerato, para un acercamiento a la Geometría Analítica.

Palabras clave: triada, pitagórica, nivel bachillerato.

Introducción

El programa Matemáticas V de la Escuela Nacional Preparatoria, que se imparte en  5º grado como materia obligatoria y con carácter teórica,  muestra cambios significativos en la estructura, secuencia de los contenidos y  en su enfoque metodológico, basado en la solución de problemas. Por medio de los contenidos propuestos, pretende que el alumno conozca, comprenda y aplique el aprendizaje; relaciones y funciones, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos, discusión de ecuaciones algebraicas, ecuación de primer grado, ecuación general de segundo grado, circunferencia, parábola, elipse y hipérbola.

 “…solamente en aprender definiciones y teoremas, para reconocer el momento de utilizarlos y aplicarlos… hacer matemáticas implica ocuparse de problemas. Sólo se hacen matemáticas cuando nos ocupamos de problemas, pero se olvida que resolver un problema es parte del trabajo; encontrar buenas preguntas  es tan importante como encontrar soluciones. Una buena reproducción por el estudiante de actividad científica exigiría que intervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura, que tome lo que es útil,…Por supuesto, se trata de una simulación que no es la “verdadera” actividad científica, como tampoco el saber presentado de forma axiomática constituye el “verdadero saber”.

(Brousseau, 1986)

Método

El Teorema de Pitágoras es uno de los más conocidos de las matemáticas y uno de los más estudiados. Fue propuesto por el matemático y filósofo griego Pitágoras de Samos.

El Teorema de Pitágoras dice:

“En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su Hipotenusa.”

Formalmente, si un triángulo tiene catetos de tamaño a y b, el valor c de la hipotenusa está determinado por:

c² = a² + b²

Hay números cuadrados que se pueden escribir como la suma de otros dos números cuadrados. Por ejemplo, el quinto número cuadrado (que es 25), se puede escribir como la suma del tercero y el cuarto (9+16); esto lo expresamos más brevemente así:

3² + 4² = 5²

Una vez que se tiene una terna por ejemplo la formada por los cuadrados de 3, 4, 5 respectivamente, pueden formarse infinitas de ellas tomando sus múltiplos, puesto que si k es un número natural cualquiera, entonces:

(3k)² + (4k)² = (5k)²

Nos interesan entonces las soluciones reducidas, que como 3, 4, 5 no tienen divisores comunes.

Otras triadas son:

5, 12 y 13;

7, 24 y 25;

9, 40 y 41;

11, 60 y 61;

Observamos la secuencia de formación:

3² + 4² = 5²

5² + 12² = 13²

7² + 24² = 25²

9² + 40² = 41²

11² + 60² = 61²

Se observa mediante ciertas triadas, se pueden formar un número infinitos de ellas y esto nos darán soluciones más precisas para los triángulos rectángulos, como para las razones trigonométricas.

Resultado preliminar

El tema de la solución de triángulos rectángulos y razones trigonométricas se encuentra en la segunda unidad de la propuesta institucional, como se observa los contenidos son muy amplios y una estrategia es precisamente poner ejercicios donde su solución sea más rápida y cree un mejor razonamiento para el estudiante.

Como resultado del análisis de la actividad, se comprueba que al aplicar triadas pitagóricas en la resolución de ejercicios por medio del teorema de Pitágoras, se observa que mediante operaciones aritméticas y sin uso de calculadora  las soluciones son más rápidas y exactas.

Un resultado es aplicar las triadas en la resolución de triángulos rectángulos en sus tres casos; cuando solo se tiene que calcular la hipotenusa o alguno de los catetos. Se revisarán las razones trigonométricas, directas y recíprocas, referidas a ángulos agudos en u triángulo rectángulo donde la relación de los ángulos cumplan con triadas pitagóricas, retomando ejercicios ya hechos en el teorema de Pitágoras.

Referencias

Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática, Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática Astronomía y Física, Serie B, Trabajos de Matemática, No. 19 (versión castellana 1993).

Caro V, (1936).  Los números: su historia, sus propiedades, sus mentiras y verdades. Ed. Minerva. Bogotá.

UNAM, (1996).  Programa de estudios de la ENP (1996, clave 0481). México.